Geometria plana o euclidiana

Axiomas de la geometría euclidiana

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: los Elementos. El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir de ellos otras muchas proposiciones (teoremas). Aunque muchos de los resultados de Euclides ya habían sido enunciados por matemáticos anteriores,[1] Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podían encajar en un sistema deductivo y lógico completo[2] Los Elementos comienzan con la geometría plana, que todavía se enseña en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostración matemática. Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones. Gran parte de los Elementos expone resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números, explicados en lenguaje geométrico[1].
Durante más de dos mil años, el adjetivo «euclidiano» fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado del paralelo) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Sin embargo, hoy en día se conocen muchas otras geometrías autoconsistentes no euclidianas, las primeras de las cuales se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y que el espacio euclidiano es una buena aproximación para él sólo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio)[3].

Libro de geometría euclidiana

En matemáticas, un plano es una superficie plana y bidimensional que se extiende infinitamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (cero dimensiones), una línea (una dimensión) y el espacio tridimensional. Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de mayor dimensión, como ocurre con una de las paredes de una habitación, que se extiende infinitamente, o pueden gozar de una existencia independiente por derecho propio, como en el entorno de la geometría euclidiana.
Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional, se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas de las tareas fundamentales de las matemáticas, la geometría, la trigonometría, la teoría de grafos y los gráficos se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.
Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría[1]. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego utilizó para demostrar diversas afirmaciones geométricas. Aunque el plano, en su sentido moderno, no se define directamente en ninguna parte de los Elementos, puede considerarse parte de las nociones comunes[2]. En este sentido, el plano euclidiano no es exactamente lo mismo que el plano cartesiano.

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Las líneas rectas pueden intersecarse. Dos rectas que no se cruzan se llaman paralelas. El punto de intersección de dos rectas no paralelas es un único punto. Los ángulos entre rectas que se cruzan pueden medirse y expresarse en grados. En particular, las rectas pueden ser perpendiculares, es decir, su ángulo de intersección es de 90°. El número máximo de rectas perpendiculares que pueden intersecarse en un punto de un plano euclidiano es igual para todos los puntos; este máximo es dos para un plano euclidiano. Este hecho se expresa mediante la afirmación de que un plano euclidiano es bidimensional.
Y como el axioma 2 establece que dos puntos con distancia distinta de cero son necesariamente distintos, se deduce que ambos pares de números no pueden representar simultáneamente el mismo punto P. El par de coordenadas (x, y) representa a P de forma única. En resumen,

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La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: los Elementos. El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir de ellos otras muchas proposiciones (teoremas). Aunque muchos de los resultados de Euclides ya habían sido enunciados por matemáticos anteriores,[1] Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podían encajar en un sistema deductivo y lógico completo[2] Los Elementos comienzan con la geometría plana, que todavía se enseña en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostración matemática. Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones. Gran parte de los Elementos expone resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números, explicados en lenguaje geométrico[1].
Durante más de dos mil años, el adjetivo «euclidiano» fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado del paralelo) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Sin embargo, hoy en día se conocen muchas otras geometrías autoconsistentes no euclidianas, las primeras de las cuales se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y que el espacio euclidiano es una buena aproximación para él sólo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio)[3].

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