Que es axioma en geometria y trigonometria

Axiomas básicos de las matemáticas

El término tiene sutiles diferencias de definición cuando se utiliza en el contexto de diferentes campos de estudio. Tal y como se define en la filosofía clásica, un axioma es una afirmación tan evidente o bien establecida que se acepta sin controversia ni cuestionamiento[3]. Tal y como se utiliza en la lógica moderna, un axioma es una premisa o punto de partida para el razonamiento[4].
En matemáticas, el término axioma se utiliza en dos sentidos relacionados pero distinguibles: “axiomas lógicos” y “axiomas no lógicos”. Los axiomas lógicos suelen ser afirmaciones que se consideran verdaderas dentro del sistema de lógica que definen y que a menudo se muestran en forma simbólica (por ejemplo, (A y B) implica A), mientras que los axiomas no lógicos (por ejemplo, a + b = b + a) son en realidad afirmaciones sustantivas sobre los elementos del dominio de una teoría matemática específica (como la aritmética).
Cuando se utilizan en este último sentido, “axioma”, “postulado” y “suposición” pueden usarse indistintamente. En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en la deducción para construir una teoría matemática, y puede ser o no evidente por naturaleza (por ejemplo, el postulado de la paralela en la geometría euclidiana)[5] Axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus afirmaciones pueden derivarse de un pequeño y bien entendido conjunto de sentencias (los axiomas), y puede haber múltiples maneras de axiomatizar un dominio matemático dado.

Nuevos axiomas matemáticos

Los fundamentos de la geometría son el estudio de las geometrías como sistemas axiomáticos. Existen varios conjuntos de axiomas que dan lugar a la geometría euclidiana o a las geometrías no euclidianas. Éstos son fundamentales para el estudio y tienen importancia histórica, pero hay un gran número de geometrías modernas que no son euclidianas y que pueden estudiarse desde este punto de vista. El término geometría axiomática puede aplicarse a cualquier geometría que se desarrolle a partir de un sistema de axiomas, pero a menudo se utiliza para referirse a la geometría euclidiana estudiada desde este punto de vista. La exhaustividad e independencia de los sistemas axiomáticos generales son consideraciones matemáticas importantes, pero también entran en juego cuestiones relacionadas con la enseñanza de la geometría.
Basado en los antiguos métodos griegos, un sistema axiomático es una descripción formal de una manera de establecer la verdad matemática que se desprende de un conjunto fijo de supuestos. Aunque es aplicable a cualquier área de las matemáticas, la geometría es la rama de las matemáticas elementales en la que este método se ha aplicado con más éxito[1].

Sistema matemático en geometría

En la Wikipedia se da una imagen de todas las funciones trigonométricas de un ángulo colocado sobre el círculo unitario, 1. Obviamente hay otras identidades trigonométricas, pero lo que me pregunto es, ¿tiene la trigonometría una lista de axiomas, o es sólo un caso especial de la geometría analítica? Y si es así, cómo encaja en el resto de las matemáticas, porque me parece verla en todas partes.
Yo diría que el punto de vista moderno es que las funciones trigonométricas se ven mejor a través de la lente del análisis complejo. Desde este punto de vista, no hay verdaderos “axiomas de la trigonometría”. En particular, definimos:
Eso no obstante, la geometría euclidiana que ciertamente se puede dar un tratamiento bastante abstracto; ver mi pregunta aquí, y en particular, asegúrese de revisar la Geometría de Audin. Este libro merece fácilmente una calificación de 5 estrellas. Pero yo diría que las funciones trigonométricas “son lo primero”, por así decirlo, y existen independientemente de la geometría.
Es decir, la trigonometría es realmente una colección de resultados sobre las relaciones de los lados de los triángulos rectángulos, las ubicaciones de los puntos en el círculo unitario, ciertas funciones “analíticas” y la red de interrelaciones entre estos puntos de vista.

Ejemplo de sistema axiomático

Qué axiomas para la geometría y la trigonometría tendría que elegir para evitar completamente las coordenadas al definir las funciones trigonométricas y mostrar la equivalencia de sus realizaciones geométricas (círculo unitario) y en serie.
Observación Curiosamente, los antiguos griegos parecen haber entendido esto de alguna manera. Para ellos la trigonometría y la medición de ángulos no formaban parte de la Geometría pura. Los matemáticos griegos nunca los utilizaron en sus investigaciones geométricas puras. Para Euclides y sus seguidores, la existencia de un ángulo

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